1) Рассмотрим треугольник в основании.По теореме Пифогора: 8^2+6^2=a^2 36+64=100 a=10 См Т.к. наибольшая грань принадлежит гипотенузе и квадрат,следовательно высота призмы 10, т.к. стороны квадрата равны.Первая грань равна 10*10=100 см^2 Вторая 6*10=60 см^2 Третья 8*10=80 см^2 Площадь боковой поверхности равна 100+60+80=240 см^2
2)
В основании правильной 4-уг. пирамиды лежит квадрат, так как боковое ребро образует угол в 45 градусов, то мы получаем равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором высота и 1/2 диагонали квадрата катеты, а боковое ребро -гипотенуза , по теореме пифагора находим катеты (а), они у нас равны между собой и равны а^2+а^2=4^2 2а^2=16 а^=8 а=2V2см - это мы нашли высоту
площадь боковой поверхности пирамиды равна 4 площадям боковых граней, сторона квадрата (b в квадрате), лежащего в основании равна 2а в квадрате (по теореме пифагора) b^2=2а^2=2*(2V2)^2 b=4см найдем апофему (с) с^2=4^2-(b/2)^2=16-4=12 с=V12 c=2V3 cм
S=4*(1/2)*b*c=2*4*2V3=16V3 кв.см
3) Из середины ребра ДА проводим прямую параллельно ребру ДС и вторую параллельно ребру ДВ это будут средние линии боковых граней. Соединим точки пересечения указанных прямых с рёбрами основания прямой. Получим в сечение треугольник. Поскольку две построенные пересекающиеся прямые параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости значит плоскость сечения параллельна боковой грани ДВС. Полученный треугольник сечения подобен треугольникам правильного тетраэдра так как все его стороны средние линии правильных треугольников граней и равны а/2. По формуле площадь сечения как площадь равностороннего треугольника равна S= (а /2)квадрат*(корень из 3)/4.= (а квадрат)*(корень из3)/16.
Это практически устная задача. Надо знать несколько простых вещей.
1. Отрезок ,соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
Ясно, что этот отрезок - часть средней линии, заключенная между диагоналями. Куски средней линии между боковой стороной и диагональю (все равно с какой стороны) равны половине малого основания - как средние линии (в обозначениях задачи это средние линии треугольников KLM и NLM). Если обозначить основания как a и b, то
12 = (a + b)/2 - 2*(b/2) = (a - b)/2;
Кроме того, задано, что (a + b)/2 = 24;
Отсюда легко находим a = 36, b = 12;
Рассмотрим теперь подобные треугольники KAN и LAM. LN/KN = 12/36 = 1/3;
Поэтому AL/AK = AM/AN = 1/3; Но AK - AL = 10; AN - AM = 26, отсюда сразу находим AL = 5, АМ = 13.
Вот тут нам Пифагор здорово облегчает жизнь - получился треугольник со сторонами (5,12,13), то есть прямоугольный. По известной формуле радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен
r = (5 + 12 - 13)/2 = 2. Это ответ.
Кстати, эта формула получается очень просто, поскольку отрезки касательных к вписанной окружности, из которых складываются стороны, включают и сам радиус r.
И, между прочим, в задаче с самого начала задана прямоугольная трапеция.
