Знайдіть площу многокутника,якщо площа ортогональної проекції цього многокутника 50 см в квадраті ,а кут між площиною многокутника і його проекцією 45°

Иными словами, нужно найти высоту конуса, объем которого равен объему шара, если диаметр шара равен диаметру основания конуса.
На самом деле часть металла теряется при переплавке, так что это не совсем точное условие. Лучше бы просто сказали, что объемы равны.
Пусть радиус шара и конуса равен R = D/2, он нам известен.
Высоту конуса H нужно найти.
Объем шара V = 4/3*pi*R^3
Объем конуса V = 1/3*pi*R^2*H
И эти объемы одинаковы.
4/3*pi*R^3 = 1/3*pi*R^2*H
Сокращаем
4R = H = 2D
Высота должна быть вдвое больше диаметра основания конуса.

Отрезки касательных из одной точки до точек касания с окружностью равны. 

Обозначим точки касания на АС -Р, на АВ-М, на ВС-К. 

Пусть КВ=а. 

Тогда КВ=МВ=а, АМ=АР=37-а. 

Катет АС=37-а+5=42-а.

Катет ВС=а+5.

Гипотенуза АВ=37.

По т.Пифагора 

АВ*=АС*+ВС²

Подставив найденные значения катетов и гипотенузы в это уравнение, получим квадратное уравнение 

2а²-74а+420. 

Решение этого уравнения дает два корня:  30 и 7, оба подходят, т.к. равны отрезкам АВ. 

Тогда АС=42-7=35, 

ВС=7+5=12

S ∆АВС=АС•BC:2=35•12:2=210 см²