Решить 1) боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно "в" и образует с плоскостью основания угол бета. определите апофему пирамиды. 2) перпендикуляр, опущенный из одной из вершин при основании равнобедренного треугольника на противоположную сторону делит ее в отношении m: n, считая от вершины данного треугольника, к его основанию. найти угол при вершине этого треугольника. 3) в прямоугольный треугольник с гипотенузой "а" и острым углом альфа вписан квадрат так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. найти сторону квадрата

1) Проекция бокового ребра на основание равно 2/3 высоты основания, а проекция апофемы - 1/3 этой высоты (по свойству медиан). Проведём сечение через ребро и ось.
Высота пирамиды H = bsinβ.
Проекция ребра равна bcosβ, а проекция апофемы (bcosβ) / 2.
По Пифагору находим апофему А = √((b²cos²β/4)+b²sin²β) =
=(b/2)√(cos²β+4sin²β).

2)  Угол при вершине  треугольника α = arc cos(m/m+n).

3) a*sin α = (b/cos α) + (b/sin α). После приведения к общему знаменателю получаем a*sin²α*cos α = b(sin α+cos α).
Если заменить sin α+cos α = b√2(cos(π/4)-α) = b√2(sin(π/40+α).
Тогда получим b = (a*sin²α*cosα) / (√2sin(π/4)+α).