У этой задачки есть очень наглядное решение.
Можно взять три взаимно перпендикулярные координатные оси и разместить четыре вершины прирамиды в точках (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1). Легко убедиться, что любая из вершин, кроме (0,0,0), является вершиной трехгранного угла, заданного в задаче.
Сама пирамида при этом представляет собой правильную треугольную пирамиду, "боковые" грани которой - равнобедренные прямоугольние треугольники, а "основание" - правильный треугольник с вершинами в точках (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1).
Поэтому искомый угол равен 60 градусам.
Эту же мысль (трудно назвать это решением - уж больно просто:)) можно выразить без упоминания координатных осей. Дело в том, что упомянутая пирамида - это часть обыкновенного куба, отсекаемая плоскостью, проходящей через концы трех ребер, имеющих общую вершину.
Берется какая -то вершина куба АBCDA1B1C1D1, например, А, и проводится сечение через точки В, D и А1, у пирамиды А1BDA все трехгранные углы при вершинах "основания" A1BD соответствуют условию задачи. В самом деле, рассмотрим, например, вершину D. Треугольники ADB и ADA1 - равноберенные прямоугольние, поэтому углы АDB и ADA1 равны 45 градусов. Что же касается двугранного угла между плоскостями АDB и ADA1, то это - двугранный угол между гранями куба :), то есть он равен 90 градусам.
Поэтому трехгранный угол при вершине D пирамиды А1BDA удовлетворяет условию задачи. По условию задачи, нужно найти угол A1DB, но он очевидно равен 60 градусам, поскольку треугольник A1DB равносторонний.
∠ВЕС = 34°.
Объяснение:
Треугольник АВС - равнобедренный. (АВ=ВС) => (∠BAC = ∠BCA).
Тогда ∠DAB = ∠ACF равны как смежные с равными углами.
Треугольники ABD и FCF равны по двум сторонам (AD=AC, AB=CF) и углу между ними (∠DAB = ∠ACF).
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Следовательно, ∠DBA = ∠AFC = 31°, а ∠CAF = ∠BDA = 25°.
∠BCA - внешний угол треугольника АСF и равен сумме двух углов, не смежных с ним, то есть ∠BCA = ∠CAF + ∠CFA = 25+31 = 56°.
∠СВЕ - внешний угол треугольника АВС => ∠СВЕ = ∠BAC + ∠BCA.
∠СВЕ = 56+ 56 = 112°.
Треугольник СВЕ равнобедренный и ∠ВЕС = ∠ЕСВ = (180 - 112/2 = 34° по сумме углов треугольника.
ответ: ∠ВЕС = 34°.
