Докажите, что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два треугольника, подобных ему.

У каждого получившегося треугольника будет прямой угол и один общий угол с исходным треугольником. Так как два угла у каждого треугольника равны двум углам исходного треугольника, то и третьи углы тоже равны оставшемуся углу исходного треугольника (хотя и не равны между собой). Следовательно, каждый из получившихся треугольников подобен исходному, а, значит, они и подобны друг другу.

Рассмотрим треугольник ABC (угол В=90 градусов), ВН - высота на гипотенузу. Угол А=а, тогда угол С=180-90-а=90-а. В треугольнике АВН имеем, что уголНВА=180-90-уголА=90-а. Значит, уголНВА=уголВСН=90-а, такжк угол АНВ=уголСЕВ=90градусов, значит по первому признаку подобия треугольников (по двум углам) имеем, что треугольник АВН подобен треугольнику СВН.