Докажите, что в выпуклом пятиугольнике сумма длин диагоналей больше периметра и меньше удвоенного периметра.

Пятиугольник ABCDE - выпуклый ⇒ все диагонали (AC,AD,BD,BE,CE) лежат внутри пятиугольника.  Периметр пятиугольника
P = AB+BC+CD+DE+EA

ΔABC :   AC < AB + BC
ΔBCD :   BD < BC + CD
ΔCDE :   CE < CD + DE
ΔDEA :   DA < EA + DE
ΔABE :   EB < AB + EA
Сложить все пять неравенств :
AC+BD+CE+DA+EB<2(AB+BC+CD+DE+EA)
AC+BD+CE+DA+EB < 2P  ⇒
Сумма диагоналей меньше двух периметров пятиугольника.

ΔAFB :   AF + BF  > AB
ΔBGC :  BG + GC > BC
ΔCKD :  CK + KD > CD
ΔDTE :  DT + TE  > DE
ΔEMA : EM + AM > EA
Сложить все пять неравенств :
(AF+GC)+(BF+EM)+(BG+KD)+(CK+TE)+(AM+DT)>AB+BC+CD+DE+EA  ⇒
(AF+GC)+(BF+EM)+(BG+KD)+(CK+TE)+(AM+DT)>P  

Добавить верное неравенство : FG+FM+GK+KT+MT > 0   ⇒

(AF+FG+GC)+(BF+FM+EM)+(BG+GK+KD)+(CK+KT+TE)+(AM+MT+DT)>P   ⇒
AC + BE + BD + CE + AD > P    ⇒
Сумма диагоналей больше периметра пятиугольника