Доказательство:
Сумма углов треугольника равна 180°
В прямоугольном треугольнике один угол прямой. Следовательно, сумма острых углов прямоугольного треугольника
180°-90°=90°
Биссектриса любого угла делит его пополам.
При пересечении биссектрис острых углов прямоугольного треугольника образуется треугольник с тупым углом при точке пересечения биссектрис углов, и в этом треугольнике каждый из острых углов вдвое меньше соответствующего острого угла исходного прямоугольного треугольника. Их сумма тоже вдвое меньше 90° и равна 45°.
Отсюда тупой угол этого треугольника равен
180°-45°=135°.
Острый угол при пересечении биссектрис равен 45° и как смежный с этим тупым углом, и как внешний угол при вершине треугольника.
Ясно, что это всегда верно для угла, образующегося при пересечении биссектрис острых углов прямоугольного треугольника, независимо от их величины.
