"даны точки а(0; 0), в(4; 4), с(0; 8), d(-4; 4). покажите, что четырёхугольник авсd-квадрат". .

Вычислим длины сторон четырехугольника ABCD.

т.е. , значит АВСД - ромб
Вычислим диагонали ромба АС и БД

Если диагонали ромба равны, то этот ромб, являющийся прямоугольником, — это квадрат, значит, ABCD — квадрат. Что и требовалось доказать.