Втреугольнике abc угол а = 90 градусов, ав = 3 см, ас = 4 см, ам- медиана. через вершину а проведена прямая аа1, перпендикулярная к плоскости треугольника авс, причем аа1 = 7 см. найдите а1м. через точку а и в прямой ав проведены прямые перпендикулярые к плоскости а(альфа) и пересекающие ее соответственно в точках а1 и в1. найдите а1 в1, если ав = 10 см, вв1 = 16см, аа1 = 24 см

Теорема косинусов для треугольника AМC
AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC

Теорема косинусов для треугольника BМC
BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=BC^2

AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC
AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC

АМ и ВM знаем
2^2-2*2*CM*cosAMC=10^2-2*10*CM*cosBMC
4-4*CM*cosAMC=100-20*CM*cosBMC

Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 - равносторонний треугольник.
Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120

4-4*CM*cos120=100-20*CM*cos60
4-4*CM*(-1/2)=100-20*CM*1/2
4+2*CM=100-10*CM
12*CM=96
СМ=8

Пусть АВ-перпендикуляр плоскости, АС-наклонная и С-прямая в плоскости, проходящая через основание С. Проведём прямую СА1, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости. Проведём через прямые АВ и СА1 плоскость. Прямая С перпендикулярна прямой СА1. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости, а значит, и прямой АС. Значит, если прямая С перпендикулярна наклонной АС то она, будучи перпендикулярна и прямой СА1 перпендикулярна плоскости, а значит и проекции наклонной СВ. Теорема доказана)