Управильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює -10 см . знайдіть радіус основи конуса.

Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :)
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK; 
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.

Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.

Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK =  BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.

S = 50√3 см².

Объяснение:

Предположим, что высота равнобедренного треугольника равная 10√3, проведена к основанию.  Это противоречит условию, так как гипотенуза не может быть меньше катета.

Предположим, что боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10 см, а высота проведена к боковой стороне. Это так же противоречит условию, так как гипотенуза не может быть меньше катета.

Остается вариант, при котором сторона основания треугольника равна 10 см. Тогда высота является и медианой (по свойству высоты равнобедренного треугольника, проведенной к основанию) и тогда

S = (1/2)·10·10√3 = 50√3 см².