Решить. дано треугольник авс где угол с=90•.нужно найти : 1) ав, если ас=3 cos углаа=1/3 2)ав,если вс=5 sina=5/6 3)ac если ав=10,sin углав=2/5, 4)св если ав=20 cosb=3/10

Проведем высоты ВН и ВР из вершины В параллелограмма.
В четырехугольнике НВРD угол D равен 360°-90°-90°-30°=150°.
В параллелограмме противоположные углы равны, значит <A=<C=30°.
(так как в параллелограмме углы, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180°).  Против углов 30° в прямоугольном треугольнике лежат катеты, равные половине гипотенузы. Из треугольника АВН имеем АВ=8см, из треугольника ВРС имеем ВС=16см.
Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой эта высота проведена. Тогда на выбор
(поскольку в параллелограмме АВ=СD и ВС=АD):
S=BH*AD или S=4*16=64см²  или
S=BP*DC или S=8*8=64см²
ответ S=64 см²

Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника - это отрезки гипотенузы, на которые ее делит высота, т.к. высота - перпендикуляр к прямой ( гипотенузе), а катеты – наклонные из вершины прямого угла.  

Катет - среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на неё .

В треугольнике на рисунке приложения 

Катет Вс=30 см, а ВН=18 - его проекция на гипотенузу. 

BC²=АВ•НВ

900=АВ•18

АВ=900:18=50 см

Высота, проведенная к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на подобные. Из подобия следует отношение:

АН:АС=АС:АВ

АН=50-18=32

32:АС=АС:50 ⇒  АС²=32•50   

 АС=√1600=40 см

-----------

Если обратить внимание на отношение катета и гипотенузы 3:5 в ∆ ВСН, увидим, что этот треугольник - египетский. Отсюда следует АВ=50 см, (т.к. меньший катет=30). а АС=40 см. Получим длины сторон треугольника, отношение которых  3:4:5.