Втреугольнике abc проведены биссектриса ad и медиана bk. из точек d и k опущены перпендикуляры dm и kn на сторону ab. известно, ято am: mb=9: 1, an: nb=2: 3. найти отношение ad: bk.

В  частности сама идея в проведении вс высоты СF.
NK||CF||DM
AK=KC (тк  делит медиана)
то  NK-cредняя линия треугольника AFC (NK=h     FC=2h)
FN=AN=y.
По   условию AN/NB=2:3
то   NB=3y/2   BF=3y/2-FN=3y/2-y=y/2.
А  теперь немного поиграем  с отношением :)
пусть MF=a
то  по условию:
AM/MB=(2y+a)/(y/2-a)=9
9y/2-9a=2y+a
10a=5y/2
a=y/4 то тк  BF=y/2 то оказалось что
MF=MB=y/4 :)
то  MD  cредняя   линия  FBC
MD=h
BD=DC :)  то есть  биссектриса AD  и медиана. То  треугольник ABC-равнобедренный. AB=AC
2x=2y+y/2
4x=5y
x=5y/4
По теореме пифагора:
h=sqrt(25y^2/16-y^2)=3y/4
Катет  первого треугольника 2y+y/4=9y/4
По теореме пифагора:
AD=sqrt(81y^2/16+9y^2/16)=3ysqrt(10)/4
катет  второго: 3y/2
BK=sqrt(9y^2/4+9y^2/16)=3ysqrt(5)/4
AD/BK=sqrt(10)/sqrt(5)=sqrt(2)  (Остальное  сокращается)
ответ:корень из 2
Ну  очень длинная задача :)