На биссектрисе равнобедренного треугольника, проведенной с вершины угла, противоположной основе, выбрано точку. эта точка равноудаленная от концов боковой стороны. расстояние от этой точки до боковой стороны 15 см, а до ее конца 25 см. вычислите периметр треугольника

КО=15 см
АО=ВО=СО=25 см

длина боковой стороны по теореме пифагора
АС=2*АК=2*корень( АО^2-ОК^2) = 2* корень( 25^2-15^2)=40 см

длина основания по подобию треугольников
АВ  = 2*АМ = 2* АС * sin(ACМ) = 2* АС * КО/СО   = 2* 40*15/25 = 48 см
P = 2*АС+АВ=2*40 см + 48 см =128 см
**************
в дополнении рисунок

Боковая сторона равна:
2*√(25²-15²) = 2*√(625-225) = 2*20 = 40 см.
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины угла, противоположного основе, - это высота.
Обозначим половину основы за х.
Часть высоты(за вычетом 25 см) равна √(25²-х²).
Вся высота будет равна 25+√(25²-х²).
Она же равна √40²-х²).
Отсюда равенство:
 25+√(25²-х²) = √40²-х²).
Освобождаемся от корня:
625+50√(625-х²)+625-х² = 1600-х².
Отсюда  х = 24  2х = 48
Периметр 40*2+48 = 128 см.