Биссектриса угла при основание равнобедренного треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен основанию. доказать, что и биссектриса равна ,

Боковая сторона b, основание треугольника и отрезок от вершины, противоположной основанию, до конца биссектрисы a. Биссектриса угла при основании L. Отрезок, параллельный основанию и проходящий через конец биссектрисы x. 
Этот отрезок отсекает от исходного подобный ему треугольник со сторонами (x, a, a).
То есть a/x = b/a; 
С другой стороны, по свойству биссектрисы
b/a = a/(b - a); откуда x = b - a;
Поэтому отсеченный треугольник (на секунду забудем, что он равнобедренный) имеет две стороны a и b - a и угол между ними, равный углу при основании исходного треугольника. 
Поэтому этот треугольник равен треугольнику, образованному биссектрисой L,  основанием a, и отрезком боковой стороны b - a.
А теперь вспоминаем забытое :). Получается, что этот треугольник тоже равнобедренный, то есть L = a; чтд.