Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. - вопрос №2803722 от bill3334 16.02.2022 22:06

Question

Геометрия: Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до четырех домов была наименьшей. заранее за

bill3334 · Answer

Условие схоже с условием точкой Торичелли.
Положим что точка

это точка колодца
По неравенству треугольников
$AO+OB \geq AB\\
AO+OD \geq AD \\
BO+OC \geq BC\\
 DO+OC \geq DC$
складывая
$AO+OB+OD+OC \geq \frac{AB+BC+CD+AD}{2}$
равенство выполняется когда $O \in AB$
тогда
$DO+OB \geq BD\\
AO+OC \geq AC$
а это и верно для диагоналей трапеций , заменяя O -O'

*точка пересечения диагоналей)
откуда следует что точка пересечения диагоналей