На построение: 1) построить прямоугольник, равновеликий данному квадрату, если дана сумма двух смежных сторон. 2)дан треугольник авс и точка р внутри него. через точку р провести прямую так, что отрезок этой прямой, заключенный между двумя сторонами треугольника, делится точкой р пополам.

1) тут можно воспользоваться теоремой высоты прямоугольного треугольника.
Еcли  на произвольной прямой  отложить циркулем cумму смежных  сторон и как на диаметре   построить окружность,то все углы   вписанные в эту окружность будут прямыми. ПО  теореме высоты  ab=A^2 где a,b -cтороны  равновеликого прямоугольника , A-cторона исходного  квадрата. Пользуясь этим,проведем перпендикулярно  к  сумме смежных сторон в  произвольное место  отрезок ,являющийся  стороной квадрата.К его верхнему концу проведем перпендикулярную прямую.В пересечении  этой прямой с  окружностью получим точку.Из  нее снова проведем   перпендикуляр  к сумме смежных сторон.То  на какие отрезки разделит этот  перпендикуляр  сумму смежных сторон и  будут сторонами искомого  прямоугольника.2)Воспользуемся   тем что 
диагонали  параллелограмма  пересекаются   и точкой пересечения делятся  пополам.Проведем из  точки P к  вершине  угла прямую,продлив ее  с другой стороны,отложим  отрезок PO с  другой стороны от точки P на этой прямой
OP=PO1 из точки О1  прповедем  прямые параллельные  сторонам угла.И получим точки пересечения M,N ,тогда тк  MONO1-параллелограмм ,то  диагонали пересекутся в точке P,и  там делятся пополам.