Точки к и м лежат на сторонах соответственно ав и вс треугольника авс, причем вк: ка=1: 4, вм: мс=3: 2. прямая мк пересекает продолжение стороны ас в точке т. найдите ас: ст.

Очень важная задача.
Пусть прямая BP II KM пересекает продолжение AC в точке P.
Тогда по известной теореме о пропорциональности отрезков разных прямых между параллельными можно записать два равенства
AK/KB = AT/TP;
BM/MC = TP/CT;
если перемножить эти равенства, то получится
(AK/KB)*(BM/MC) = AT/CT;  (*)
Если подставить AK/KB = 4; BM/MC = 3/2; то AT/CT = 4*3/2 = 6;
AT = AC + CT; то есть AC/CT + 1 = 6; AC/CT = 5;

Если вернуться к соотношению (*) 
(AK/KB)*(BM/MC) = AT/CT; 
то его можно переписать так
(AK/KB)*(BM/MC)*(CT/AT) = 1;
или (AK*BM*CT)/(KB*MC*AT) = 1; это выражение называется теорема Менелая.

PS. Вместо теоремы о пропорциональности отрезков можно сослаться на подобие треугольников AKT и ABP и треугольников CMT и CBP. Это то же самое.