Четыре точки разбивают окружность на дуги, длины которых образуют прогрессию со знаменателем 3. найдите меньший угол между диагоналями четырехугольника, полученного путем последовательного соединения этих точек.

Ориентир по рисунку . 
Полученный четырехугольник будет вписанным в окружность.
Так как дуги по формуле равны  , где  -  центральный угол     . 
 Пусть угол   , дуга  . 
 ,
 Заметим что  углы  итд опираются на одну и ту же дугу. 
 По теореме  о вписанном угле  , вписанный     угол    
выражая все углы 
получим 
 
 
 тогда угол между диагоналями 
  он самый наименьший