Даны два равных прямоугольных треугольника авс и а1в1с1, у которых в = в1 = 90 градусов, а = а1; вн и в1н1 – высоты. докажите, что внс = в1н1с1.

Поскольку треугольники АВС и А1В1С1 равны, то <C=<C1.Треугольники ВНС и В1Н1С1 - прямоугольные. У них:
ВС=В1С1 по условию, 
<C=<C1
Значит ВНС и В1Н1С1 равны, т.к. гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого.