Сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника равна 4. докажите,что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из вершин этого четырехуголька не меньше 1.

Из того что сумма длин диагоналей равна 4, следует, что одна из диагоналей не меньше 2.
Пусть есть точка, такая что расстояние от нее до любой из четырех вершин меньше 1. Проведем окружность с центром в этой точке и радиусом 1. Тогда все четыре вершины нашего четырехугольника будут внутри, то есть весь четырехугольник внутри, НО! заметим, что диаметр окружности 2! Значит, любой отрезок лежащий внутри меньше двух, но у нас внутри лежит диагональ длиной как минимум 2. Противоречие.