Решение в треугольнике mnk mn = 10см, nk = 17см, mk = 21см. nf - высота треугольника; pn- перпендикуляр к плоскости mnk. найдите расстояние от точки p до стороны треугольника mk, если np = 15 см

По условию NF⊥МК, NF - проекция PF на плоскость MNK, значит PF⊥МК по теореме о трех перпендикулярах.
PF - искомое расстояние.

По формуле Герона:
Smnk = √(р·(p - MK)·(p - MN)·(p - KN)), где р - полупериметр.

р = (MN + MK + KN)/2 = (10 + 21 + 17)/2 = 48/2 = 24 см

Smnk = √(24 · 3 · 14 · 7) = √(4 · 3 · 2 · 3 · 2 · 7 · 7) =
= √(4² · 3² · 7²) = 4 · 3 · 7 = 84 см²

Smnk = MK · NF / 2
84 = 21 · NF / 2
NF = 2 · 84 / 21 = 8 см

ΔPNF: ∠PNF = 90° , по теореме Пифагора
           PF = √(PN² + NF²) = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17 см