Сегодня была (уже олимпиада, я не справилась с : в прямоугольнике abcd с большей стороной ad точка e — середина стороны ab, a m — основание перпендикуляра, опущенного из вершины d на отрезок ce. докажите, что треугольник mad — равнобедренный. объясните, если кто по времени горит, просто хочется разобраться.

  Проведем ЕК параллелльно АД. 
 Углы ВЕС и ЕСК равны как накрестлежащие при параллельных ВЕ  и СК  
Рассмотрим прямоугольные треугольники ВЕС и ДМС. 
Они подобны, т.к. если в одном прямоугольном треугольнике  один из острых углов равен острому углу другого, то эти  треугольники подобны
 Следовательно, углы ВСЕ и МДС равны.   
Опустим из Е перпендикуляр ЕН на АС, и проведем НТ  параллельно ЕМ. 
 Получился прямоугольник МЕНТ 
В прямоугольнике ВСКЕ углы ВСЕ и СЕК равны как  накрестлежащие при параллельных ВЕ и СК. 
 В прямоугольнике ЕМТН НМ и ЕТ - диагонали.
 Они равны и точкой  пересечения О делятся пополам.
Следовательно, треугольник  ЕМО равнобедренный, и угол МЕТ равен углу ЕМН.  
А так как угол СЕК и МЕТ - один и тот же, угол ЕМА равен  углу ВСЕ и равен углу СДМ. 
Каждый из этих равных  углов  дополняет углы при МД до  прямого.
Следовательно,  углы АМД и АДМ равны, и  треугольник АМД - равнобедренный.