с контрольной по геометрии❗❗❗. 1. Осі координат є осями симетрії прямокутника. Одна з його вершин має координати (-3; 4). Знайдіть координати інших вершин прямокутника.
2. Чотирикутник А"В"С"D" подібний чотирикутнику АВСD з коефіцієнтом подібності 2. AB= 5 см; B"C"=12 см; CD=7 см; A"D"=4 см. знайдіть невідомі сторони обох чотирикутників.
3. Паралельне перенесення задано формулами: x"=x+3; y"=y-5. При цьому паралельному перенесенні трикутник ABC переходить у трикутник A"B"C". Знайдіть координати вершин трикутника ABC, якщо A" (3;-5); B" (0;0); C"(2;-7).
4. Площі двох квадратів відносяться як 9:4, а сума їх периметрів дорівнює 80 см. Знайдіть сторону кожного з квадратів.

Окружность, уравнение которой x^2+y^2 = 4 - это окружность с центром в начале координат радиусом 2., поскольку уравнение окружности таково: (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 с центром в точке O(a;b) Радиуса R. Из условия имеем: (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2. Далее, Из условия AB = BM. Рассмотрим это со следующего ракурса: AB = BM - радиусы некоторой окружности. На рисунке как бы мы не проводили хорду АВ, АВ будет равна ВМ и точка М будет лежать на той самой окружности. И хорда АМ большой окружности будет делится надвое радиусом в точке меньшей окружности (B, B1, B2 ... Bn). Получается, множество точек М - это некая окружность с центром B(2;0) радиусом 4. И уравнение такой окружности будет иметь вид: (x-2)^2 + y^2 = 16.

Так как A внутри BCD, AB=AD, то BAD - тоже равнобедренный треугольник, и у него общее с BCD основание BD. Поставим точку K так, что BK=KD, тогда KC - медиана BCD, KA - медиана BAD.
Докажем второй пункт.  Как известно, высота равнобедренного треугольника совпадает с его медианой и биссектрисой и является его осью симметрии. Также, любые два равнобедренных треугольника, построенные на одном основании, обладают общей осью симметрии и, как следствие, общей высотой/медианой/биссектрисой. Тогда получаем, что KA⊂KC и все три точки лежат на KC.
Это автоматически доказывает первый пункт, т.к. непонятные ∠ACB и ∠ACD превращаются в углы при биссектрисе ∠KCB=∠KCD, которые равны между собой.