дано точки А (1;2;-3), В (-2;4;5) , С (3;-3;-1) і D (-1;3;-4). Доведіть, що пряма АB перпендикулярна до площини АDС

АВ = Рabcd : 4 = 12 : 4 = 3 см
ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит
AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см

ΔABD равнобедренный, поэтому
∠ABD = ∠ADB,
BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
BB₁ = DD₁.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x.
ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°.
∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.

Рассмотрим ΔD₁OB. По теореме косинусов
D₁B² = OD₁² + OB² - 2·OD₁·OB·cos 80°
9/4 = x² + 4x² - 2 · x · 2x · cos80°
9/4 = 5x² - 4x² · cos80°
9/4 = x² (5 - 4cos80°)
x² = 9 / (4(5 - 4cos80°))
x = 3  / (2√(5 - 4cos80°))

BB₁ = 3x = 9  / (2√(5 - 4cos80°)) или


Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится:
cos 80° ≈ 0,1736
BB₁  = 9  / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2

Уравнение окружности в общем виде:

(x - x₀)² + (y - y₀)² = R²,

где (x₀; y₀) - координаты центра,

      R - радиус окружности.

1. Окружность с центром О:

координаты центра (0; 0), R = 1,

уравнение окружности:

(x - 0)² + (y - 0)² = 1²

x² + y² = 1

2. Окружность с центром О₁:

координаты центра (- 3; 1), R = 2,

уравнение окружности:

(x - (- 3))² + (y - 1)² = 2²

(x + 3)² + (y - 1)² = 4

3. Окружность с центром О₂:

координаты центра (2; 3), R = 1,

уравнение окружности:

(x - 2)² + (y - 3)² = 1²

(x - 2)² + (y - 3)² = 1

4. Окружность с центром О₃:

координаты центра (3; 0), R = 1,5,

уравнение окружности:

(x - 3)² + (y - 0)² = 1,5²

(x - 3)² + y² = 2,25

5. Окружность с центром О₄:

координаты центра (0; - 3), R = 2,

уравнение окружности:

(x - 0)² + (y - (- 3))² = 2²

x² + (y + 3)² = 4