Дано:
∆ ABC,
m, n, k — серединные перпендикуляры к сторонам AB, BC, AC
Доказать: m, n, k пересекаются в одной точке.
Доказательство:
Сначала докажем, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Предположим, что m и k не пересекаются. Тогда m ∥ k.
Но прямые AB и AC пересекаются в точке A. Пришли к противоречию. Следовательно, прямые m и k пересекаются.
Обозначим точку пересечения прямых m и k как O.
По свойству серединного перпендикуляра к отрезку AO=OC и AO=BO. Следовательно, и OC=BO. Значит, точка O равноудалена от концов отрезка BC, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре n к этому отрезку. Таким образом, все три серединных перпендикуляра m, n, k к сторонам треугольника ABC пересекаются в одной точке O.
В треугольнике ABC высота CD делит угол C на два угла, причём угол ACD=25 градусов,угол BCD= 40 градусов.
а) Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный,и укажите его боковые стороны.
СD - высота. Следовательно, угол АDС=90º
Тогда ∠ САD=180º-90º-25º=65º
∠ВСА=25º+40º=65º
∠ВАС=∠ВСА. Равные углы при стороне АС - признак равнобедренного треугольника. ⇒ АВ=ВС
Доказано.
б)
Высоты данного треугольника пересекаются в точке O. Найдите угол BOC.
ВМ - высота ∆ АВС. Угол ВМС=90º
Для ∆ МОС угол ВОС - внешний и равен сумме двух других, не смежных с ним.
∠ВОС=90º+25º=115º
