Доказали, что точка М - середина CD.
Объяснение:
В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что ∠BCD = ∠CDA ⩾ 90◦. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M на стороне CD. Докажите, что M — середина CD.
Дано: АВСD - выпуклый четырехугольник;
∠BCD = ∠CDA ⩾ 90◦;
ВМ и АМ - биссектрисы ∠В и ∠А соответственно;
М ∈ CD;
Доказать: М - середина CD.
Доказательство:
Продолжим стороны ВС и АD до пересечения. Поставим точку К.
Соединим К и М.
1. Рассмотрим ΔАВК.
ВМ и АМ - биссектрисы ∠В и ∠А соответственно. (условие)
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.⇒ КМ - биссектриса ∠К.
2. Рассмотрим ΔDCK.
Сумма смежных углов равна 180°.⇒ ∠DCK = 180° - ∠BCD
∠CDK = 180° - ∠CDA
∠BCD = ∠CDA (условие)
⇒ ∠DCK = ∠CDK
Если в треугольнике два равных угла, то этот треугольник равнобедренный.⇒ ΔDCK - равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой.⇒ СМ = MD.
Доказали, что точка М - середина CD.
