Даны вершины пирамиды АВСD А(1,2,3), В(2;0;0), С(3;2;5), D(4;0;0).
1) Находим векторы АВ и АС.
АВ = (2-1; 0-2; 0-3) = (1; -2; -3).
АС = (3-1; 2-2; 5-3) = (2; 0; 2).
Векторное произведение равно:
i j k| i j
1 -2 -3| 1 -2
2 0 2| 2 0 = -4i - 6j + 0k - 2j - 0i + 4k = 4i - 8j + 4k = (4; -8; 4).
S = (1/2)*√(16 + 64 + 16) = (1/2)*√96 = 2√6 ≈ 4,898979.
2) Находим вектор АД = (3; -2; -3).
Смешанное произведение (АВ*АС)хАД равно:
4 -8 4
3 -2 -3 = 12 + 16 - 12 = 16.
V = (1/6)*16 = 8/3.
Построение сводится к проведению перпендикуляра из точки к прямой.
Из вершины А, как из центра, раствором циркуля, равным АС, делаем насечку на стороне ВС. Обозначим эту точку К.
∆ КАС- равнобедренный с равными сторонами АК=АС.
Разделив КС пополам, получим точку М, в которой медиана ∆ КАС пересекается с основанием КС. Т.к. в равнобедренном треугольнике медиана=биссектриса=высота, отрезок АМ будет искомой высотой.
Для этого из точек К и С, как из центра, одним и тем же раствором циркуля ( больше половины КС) проведем две полуокружности. Соединим точки их пересечения с А.
Отрезок АМ разделил КС пополам и является искомой высотой ∆ АВС из вершины угла А.
