21.6. Перед вами часть карты острова, на котором когда-то пираты зарыли сокровища (рис. 21.6). К сожалению, на карте не отме- чено место, где они спрятаны, но зато сохранились ориентиры (камень на развилке дорог и два дуба), по которым можно определить место. Известно, что сокровища зарыты в месте, одинаково удаленном и от двух дорог, и от дубов. Сможете ли вы отыскать клад?

Начертим прямую а к ней строим перпендикулярную прямую. От точки пересечения прямых откладываем отрезок равной высоте треугольника таким образом получим вершину прямоугольного угла . дальше строим окружность  с радиусом равной катету и центром в вершине прямоугольного угла. точкой пересечения окружности и прямой будет вершина другого угла треугольника. соединим центр окружности с этой точкой это будет заданный катет. дальше строим прямую перпендикулярную катету, через центр окружности. Точкой пересечения этой прямой и прямой построенной в самом начале задачи и будет третья вершина заданного треугольника.

Дано: окружность с центром О. АВ и СД - хорды, АВ=30, КО=20; МО=15. Найти СД.

Решение: КО⊥АВ и МО⊥СД, т.к. перпендикуляр - кратчайшее расстояние между точкой и прямой. Треугольники АОВ и СОД - равнобедренные, причем АО=ОВ=ОС=ОД как радиусы окружности.

Рассмотрим ΔАОВ; КО - высота и медиана, поэтому АК=КВ=АВ:2=30:2=15. Найдем ОВ из ΔОКВ; ОВ=25, т.к. ΔОКВ - "египетский".

Рассмотрим ΔДОМ; ОМ - высота и медиана, поэтому СМ=ДМ. ОД=ОВ=25, ОМ=15, значит, ДМ=20 (по свойству египетского треугольника). СД=СМ+ДМ=20+20=40 (ед.)

ответ: 40.