Дана трапеция ABCD с основаниями AD BC. На стороне AB как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону CD в точках M и N. Найдите длину отрезка MN, если AB=20, AD=12, BC=8, CD=21

K и M - середины AB и BC соответственно, значит AK = KB и CM = MB. Но у нас дан равнобедренный треугольник, значит у него боковые стороны равны, из этого следует, что AK = KB = CM = MB
Рассмотрим ΔADK и ΔCDM
A = C (так как углы при основании р/б Δ-ка равны)
AK = CM (см пункт 1)
AD = DC (так как BD - медиана ΔABC)
ΔADK = ΔCDM (по 2 сторонам и углу между ними)
Рассмотрим ΔBKD и ΔBMD
BD - общая сторона
KB = BM (см пункт 1)
KD = DM (из равенства ΔADK и ΔCDM
ΔBKD = ΔBMD (по 3 сторонам)
Вроде бы все, но это можно решить проще (без доказательств равенства ADK и CDM):
BD - общая сторона
KD = BM (пункт 1)
угол KBD = MBD (по свойству медианы р/б Δ-ка)
ΔBKD = ΔBMD (по 2 сторонам и углу между ними)
Рисунок во вложении

3) 50 градусов.

Объяснение:

3) Внутренний угол В равен: 180-110=70 градусов, так как углы смежные.

Внутренний угол С равен: 180-120=60 градусов, так как углы смежные.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180, то внутренний угол А равен: 180-70-60=50 градусов.

ответ: 50 градусов.

4) Треугольники ADB и DCB равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (DB общая, угол 1 равен углу 2 по условию, угол 3 равен углу 4 по условию).

Так как треугольники равны, то стороны AB и CB равны, стороны AD и DC равны, значит, треугольники АВС и ADC равнобедренные.

В равнобедренных треугольниках биссектриса, проведенная к основанию, является также и высотой, значит DO перпендикулярна AC, ВО перпендикулярна АС.

DB перпендикулярна AC.

Утверждение доказано.