Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с высотой угол в 30°.
==========================================================
▪В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Вершина такой пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей квадрата. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.▪Рассмотрим ΔАОМ: ∠АМО = 30° ⇒ катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы ⇒ АО = АМ/2 = 12/2 = 6 см ⇒ AO = BO = CO = DO = 6 смПо т. Пифагора:АМ² = АО² + ОМ²ОМ² = АМ² - АО² = 12² - 6² = 144 - 36 = 108ОМ = 6√3 см▪Рассмотрим ΔАОВ: по т. ПифагораАВ² = АО² + ВО² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72АВ = 6√2 смV mabcd = S осн. • H / 3 = AB² • MO / 3 = ( 6√2 )² • 6√3 / 3 = 72 • 6√3 / 3 = 144√3 см³ОТВЕТ: 144√3
Формула объёма пирамиды V=S•h:3. Пусть данная пирамида SABCD, SM=L– апофема, ЅН - высота, угол ЅМН= α
Пирамида правильная, следовательно, её основание - правильный многоугольник, грани - равнобедренные треугольники, вершина проецируется в центр основания.
Апофемой называют высоту грани правильной пирамиды. Апофема ЅМ - перпендикулярна АВ, её проекция НМ – перпендикулярна АВ ( по т. о 3-х перпендикулярах).⇒ ∆ ЅНМ – прямоугольный, ВМ=АМ, КН=МН и КМ параллельна и равна ВС. Высота ЅН=L•sinα. BC=2NM=2•L•cosα ⇒S(ABCD)=4L²•cos²α V=4L²•cos²α•L•sinα:3=4L³•cos²α•sinα:3,
