4. На стороне АД параллелограмма АВСД взята точка Р так, что AP - 6 см, РД =9 см см, BP =12 см, ВД-15 см. Найдите площадь параллелограмма. рямоугольной трапеции ABCP большая боковая сторона равна 27 см, угол P равен 45°, а та CH делит основание AP пополам. Найдите площадь трапеции

Треугольник АВС, уголС=90, СК-высота, СМ-медиана=6, СН-медиана=4√3, АМ=МК=1/2АК, КН=НВ=1/2КВ, 2МК=АК, 2КН=КВ, СК в квадрате=АК*КВ=2МК*2КН, МК=СК в квадрате/4КН, треугольник СКН прямоугольный, СК в квадрате=СН в квадрате-КН в квадрате=48-КН в квадрате, МК=(48-КН в квадрате)/4КН, треугольник КСМ прямоугольный, СК в квадрате=СМ в квадрате-МК в квадрате=36-МК в квадрате=36-((48-КН в квадрате)/4КН) в квадрате=36-((2304-96*КН в квадрате+КН^4)/16*КН в квадрате ), 36-((2304-96*КН в квадрате+КН^4)/16*КН в квадрате )=48-КН в квадрате, 576*КН^4-96*КН в квадрате-2304=0, КН в квадрате=(96+-корень(9216+138240))/(15*2)=(96+-384)/30=16, КН=4, КВ=2*КН=2*4=8, СК в квадрате=48-16=32, СК=4*корень2, МК=(48-16)/(4*4)=2, АК=2*МК=2*2=4, АВ=КВ+АК=8+4=12, АС в квадрате=АК*АВ=4*12=48, АС=4*корень3, ВС в квадрате=КВ*АВ=8*12=96, ВС=4*корень6, площадьАВС=1/2АС*ВС=1/2*4*корень3*4*корень6=24*корень2 или площадь АВС=1/2*АВ*СК=1/2*12*4*корень2=24*корень2

По второму признаку равенства треугольников: "Если сторона и два прилежащих к ней угла в одном треугольнике равны стороне и двум прилежащим к ней углам во втором треугольнике - то такие треугольники равны". 
Нам дано, что BM - биссектриса (на рисунке) , значит угол ABM равен углу CBM по определению биссектрисы 
Она же есть высота. По определению высоты BM перпендикулярна AC, значит углы AMB и CMB равны между собой (каждый по 90 градусов) 
А также сторона BM - общая для треугольников ABM и CBM, значит эти два треугольника равны по 2-му признаку равенства треугольников. 
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны (и наоборот) . Прямые углы AMB и CMB равны, значит и стороны, лежащие против них AB и CB. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. 
Утверждение доказано.