1. Найдите координаты точек, симметричных точке B (2; 4; -5). a) плоскости XY, б) оси Х, в) начала координат. 2. Дан треугольник ABC с вершинами (11; -2; -9), В(2; 6; -4), С(14; 2; -10). а) найдите координаты середины отрезка ВС, б) найдите координаты и модуль вектора ВС, с) найдите вектор АВ + ВС, докажите перпендикулярность вектора АВ и АС. 3. Дан вектор а (2; 1; -2) а) известно, что a = EF, Найдите координаты точки F, если Е (2; 0; 3), б) Найдите значения m и n, при которых векторы а и b коллинеарны, если b (m; n; -4), в) Найдите координаты и модуль вектора с, если с = -3а. 4. Даны векторы а(-2; -2; 1), b(0; -4; 3) а) Найдите вектор
б) Найдите (a + b) (a - b), в) Найдите косинус угла между векторами а и b. 5. Докажите что четырёхугольник параллелограмм, и найдите его центр симметрии, если A(-1;4;3), B(-3;6;-5), C(3;0;-5), P(5; -2;3).
1.
a) Для нахождения координат точки, симметричной точке B (2; 4; -5) относительно плоскости XY, нужно сохранить первые две координаты (X и Y) неизменными, а изменить знак третьей координаты (Z). Таким образом, точка B' будет иметь координаты (2; 4; 5).
b) Для нахождения координат точки, симметричной точке B (2; 4; -5) относительно оси X, нужно сохранить первую координату (X) неизменной, а изменить знак второй и третьей координаты (Y и Z). Таким образом, точка B' будет иметь координаты (2; -4; 5).
c) Для нахождения координат точки, симметричной точке B (2; 4; -5) относительно начала координат, нужно изменить знак всех трех координат. Таким образом, точка B' будет иметь координаты (-2; -4; 5).
2.
a) Чтобы найти координаты середины отрезка ВС, нужно просуммировать соответствующие координаты точек В и С и разделить полученные суммы на 2.
x-координата середины отрезка ВС: (2+14)/2 = 8
y-координата середины отрезка ВС: (6+2)/2 = 4
z-координата середины отрезка ВС: (-4-10)/2 = -7
Таким образом, координаты середины отрезка ВС равны (8; 4; -7).
б) Чтобы найти вектор ВС, нужно вычесть соответствующие координаты точек С и В.
Вектор ВС = (14-2; 2-6; -10-(-4)) = (12; -4; -6)
Модуль вектора ВС можно найти по формуле модуля вектора: ||ВС|| = √(12^2 + (-4)^2 + (-6)^2) = √(144 + 16 + 36) = √196 = 14
с) Чтобы найти вектор АВ + ВС, нужно сложить соответствующие координаты векторов АВ и ВС.
Для доказательства перпендикулярности векторов АВ и АС используем свойство скалярного произведения векторов: если для двух векторов их скалярное произведение равно нулю, то они перпендикулярны.
Вектор АВ * Вектор АС = (-9; 8; 5) * (11-2; -2-6; -9-(-4)) = (-9; 8; 5) * (9; -8; -5) = (-9*9 + 8*(-8) + 5*(-5)) = (-81 + (-64) + (-25)) = (-170)
Так как скалярное произведение векторов АВ и АС равно -170, а не равно нулю, значит, векторы АВ и АС не являются перпендикулярными.
3.
a) Для нахождения координат точки F, если известно, что a = EF, нужно от точки E отнять вектор а.
E (2; 0; 3)
а (2; 1; -2)
Координаты точки F равны (2-2; 0-1; 3-(-2)) = (0; -1; 5).
б) Чтобы векторы а и b были коллинеарными, должно выполняться условие, что они имеют одинаковое отношение своих координат.
Запишем соответствующие координаты векторов а и b:
Из первого равенства получаем m = 2n, а из второго равенства получаем -4 = 2n, что дает n = -2.
Таким образом, при значениях m = 4 и n = -2 векторы а и b будут коллинеарными.
в) Чтобы найти координаты и модуль вектора с, если с = -3а, нужно умножить каждую координату вектора а на -3.
а (2; 1; -2)
с (-6; -3; 6)
Модуль вектора с можно найти по формуле модуля вектора: ||с|| = √((-6)^2 + (-3)^2 + 6^2) = √(36 + 9 + 36) = √81 = 9.
4.
a) Чтобы найти вектор c = 4a + (1/3)b, нужно умножить каждую координату вектора а на 4, каждую координату вектора b на (1/3) и сложить соответствующие координаты.
