Пусть A' – середина дуги BC. Так как OA' || IA2, прямые OI и A'A2 пересекаются в точке K – центре гомотетии описанной и вписанной окружностей (см. рис.). Докажем, что K – искомый радикальный центр.
Первый Так как инверсия с центром A' и радиусом A'B меняет местами прямую BC и описанную окружность Ω треугольника ABC, точка A1 переходит в A, а A2 – в точку A'' пересечения прямой A'A2 с описанной окружностью. Следовательно, точки A, A1, A2 и A'' лежат на одной окружности.
Степень точки K относительно описанной окружности треугольника AA1A2 равна – KA2·KA'' = – r/R AA'·KA'' = r/R s(K), где s(K) – степень точки K относительно Ω.
Очевидно, степени точки K относительно описанных окружностей треугольников BB1B2 и CC1C2 будут такими же, то есть K – радикальный центр трёх окружностей.
Второй Пусть A', B', C' – середины дуг BC, CA, AB. Тогда треугольник A'B'C' переводится в A2B2C2 гомотетией с коэффициентом r/R и центром K, то есть KA2 : A'A2 = KB2 : B'B2 = KC2 : C'C2 = k : 1. Для точек прямой A'A2 разность степеней относительно описанной окружности треугольника AA1A2 и вписанной окружности треугольника ABC является линейной функцией. В точке A2 эта функция равна нулю,
а в точке A' – r², поскольку A'A1·A'A = A'B² = A'I² (первое равенсто следует из подобия треугольников A'A1B и A'BA, а второе – из леммы о трезубце – см. задачу 53119). Значит, в точке K эта разность равна – kr². Другие аналогичные разности в точке K также равны – kr², откуда и следует требуемое
построим трапецию ABCD
обозначим верхнее основание - а
треуг ABD прямоугольный равнобедренный
ABKD -квадрат со
стороной а
диагональю BD = a√2
площадью S(ABKD)=a^2
площадью треуг ABD - половина квадрата S(ABD)=a^2/2
треуг СBD прямоугольный равнобедренный
BD = BC = a√2
тогда по теореме Пифагора DC=√((a√2)^2+(a√2)^2)= 2a
площадь треуг CBD S(CBD )=1/2 *a√2*a√2=a^2
общая площадь S=S(ABD)+S(CBD )=a^2/2 +a^2 =3*a^2/2 = 18^2
отсюда
3*a^2/2 = 18^2
а=6√6
средняя линия m= (a+2a)/2 = 6√6 /2= 3√6
ответ 3√6
