в ромбе стороны равны, диагонали пересекаются по прямым углом. Проведем через отмеченные точки отрезки. Рассматриваем треугольники, образованные диагоналями и отрезками.
1 - меньшая диагональ: имеем два больших треугольника с основанием диагональю, а в них два меньших с основаниями - отрезками. Треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними с коэффициентом подобия 2:5 (3+2=5 - сторона ромба из 5 частей). Из подобия вытекает, что отрезки параллельны диагонали ромба параллельны между собой. Большая диагональ перпендикулярна меньшей, а значит и отрезкам параллльеным этой диагонали.
2- большая диагональ - аналогично, коэффициент подобия 3:5. Отрезки параллельны меньшей диагонали и перпендикулярны большей.
Отсюда имеем прямоугольник
Даны отрезки
Необходимо построить трапецию ABCD (с основаниями AD и ВС, AD > ВС), такую, что
Допустим, что ABCD — искомая трапеция. Тогда на продолжении AD отложим отрезок DE = b. Следовательно, DBCE — параллелограмм, так как две его стороны ВС и DE параллельны и равны. Поэтому стороны BD и СЕ параллельны и равны:
Рассмотрим
План построения трапеции: 1) На произвольной прямой отложим отрезок AD = а. На продолжении AD отложим отрезок DE = b.
2) Построим
по известным сторонам
3) Через точку С проведем прямую, параллельную АЕ, и на этой прямой от точки С в ту же полуплоскость относительно СЕ, где и точка А, отложим отрезок СВ = b.
4) Получим четырехугольник ABCD. Докажем, что ABCD искомая трапеция.
(по построению). Так как
(по условию), то ABCD не является параллелограммом, а значит, является трапецией с основаниями AD = а, ВС = b (по построению). По построению диагональ
Так как BCED
— параллелограмм (его противоположные стороны ВС и DE по построению параллельны и равны), то
Значит, диагонали АС и BD равны соответственно
и следовательно, ABCD — искомая трапеция. Заметим, что задача имеет решения не всегда, а только в случае если можно построить
со сторонами в
Это возможно тогда и только тогда, когда одна сторона больше разности двух других и меньше суммы двух других, то есть, когда
+ b < d2 + d1. В этом случае
определяется однозначно и задача имеет единственное решение. В других случаях
построить нельзя и задача решений не имеет.
