В прямоугольной трапеции ABCD (AD и BC - основания) D-90º, A-45°, BC-2, CD-6. Найдите площаль трапеции. Диагонали ромба равны 6 и 8, а сторона - 5. Найдите высоту ромба.

Построим сумму векторов а и b и их разность.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129

Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301

Назовём стороны шестигранника: a,b,c,d,e,f
известно, что сторона меньше каждой из других сторон
тогда выразим длины сторон через а, переведя мм в см:
a=b-0.4
a=c-0.5 => c=a+0.5 => c=(b-0.4)+0.5=b+0.1
a=d-0.7 => d=a+0.7 => d=(b-0.4)+0.7=b+0.3
a=e-1   =>  e=a+1   => e=(b-0.4)+1=b+0.6
a=f-1.4 =>  f=a+1.4 => f=(b-0.4)+1.4=b+1
Формула периметра 
a+b+c+d+e+f=P
(b-0.4)+b+(b+0.1)+(b+0.3)+(b+0.6)+(b+1)=16
6*b+1.6=16
6*b=16-1.6
b=2.4 см
значит, длины других сторон
a=2.4-0.4=2 см
c=2.4+0.1=2.5 см
d=2.4+0.3=2.7 см
e=2.4+0.6=3 см
f=2.4+1=3.4 см
Проверка
2+2,4+2,5+2,7+3+3,4=16
Решение верно