. Начертите 8 любых треугольников и измерьте углы каждого из них. Проверьте теорему о сумме углов треугольника, складывая градусные меры углов. Отдельно у каждого треугольника. Измерения производим транспортиром.

Пусть ∠C = 2y, ∠BAD = α, ∠CAD = 3α, CE – диаметр описанной окружности ω треугольника CDO. Тогда ∠ODE = ∠OCE = y, ∠CDE = 90°, ∠DEC = 90° – 2y. Точка A лежит на продолжении отрезка DO за точку O, поэтому она находится дальше от центра ω, чем точка O. Значит, DEC – внешний угол треугольника ADE, откуда ∠DEC = 90° – 2y = 3α + y, то есть α = 30° – y. Поэтому ∠B = 180° – 2y – 4α = 60° + 2y.
По теореме синусов и условию задачи sin2y/sin(60°+2y)=2/3. После очевидных преобразований получим: 3 sin2y = √3 cos2y + sin2y, tg2y = √3/2, откуда cos²2y=1/1+tag²2y = 4/7, а так как 2y < 90° (как острый угол прямоугольного треугольника CDE), то cos 2y = 2/√7.
ответ: 2/√7.

Дано:
правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁
<A₁CA=30°
A₁C=4
Найти: S, V
Решение:
Треугольник А₁АС прямоугольный.
Напротив угла в 30° лежит катет в два раза меньший гипотенузы. Значит
h=А₁А=0,5*А₁С=0,5*4=2
По т.Пифагора находим сторону треугольника в основании
a=AC=√(А₁С²-А₁А²)=√(4²-2²)=√12=2√3
Площадь треугольника в основании находим по ф-ле Герона
p=0.5*3a=1.5a=3√3
S₁=√(p(p-a)(p-a)(p-a))=(p-a)√(p(p-a))=(3√3-2√3)√(3√3(3√3-2√3))=√3*3=3√3
Боковая поверхность состоит из трех равных прямоугольников. Площадь прямоугольника
S₂=ah=2√3*2=4√3
Полная поверхность состоит из двух оснований и боковой поверхности
S=2S₁+3S₂=2*3√3+3*4√3=18√3
Объем призмы
V=S₁h=3√3*2=6√3
ответ: S=18√3 кв.ед., V=6√3 куб.ед.