1) У ∆ABC кутC = 90°, BC = 3см, AC = 4см Точка дотику вписаного кола поділяє більший катет на відрізки 1см і 3см, рахуючи від вершини прямого кута. Через центр вписаного кола проведено пряму паралельно катету BC. Знайдіть довжину відрізка цієї прямої, що лежить між сторонами AB і AC.

2) У рівнобедреному трикутнику, точка перетину медіан віддалена від основи на 2a. Знайдіть відстань від середини бічної сторони до основи.

3)У рівнобедреному трикутнику основа і бічна сторона дорівнюють 10 см і 15 см відповідно. Знайдіть відрізки бічної сторони, на які ділить бісектриса кута при основі бічну сторону.

4) З точки кола до діаметра проведено перпендикуляр. Знайти довжину перпендикуляра, якщо його основа поділяє діаметр на відрізки 1,8 см і 3,2 см. Яка довжина хорд, проведених з цієї точки до кінців діаметра?

5) Дві сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 15 см і 40 см. Знайдіть сторони подібного до нього трикутника, якщо його периметр становить 190 см.

6) У рівнобічній трапеції діагоналі є бісектрисами тупих кутів. Відстані від точки перетину діагоналей до основ трапеції дорівнюють 2,25 см і 9,75 см. Знайдіть периметр трапеції, якщо середня лінія дорівнює 8 см.

В равнобедренном треугольнике угол с градусной мерой в 120 градусов будет являться лежащим напротив основания данного треугольника, а оставшиеся два, равных друг другу угла (т.к. они лежат у основания этого треугольника), будут равны (180-120):2=30 градусов.
Значит, высота, опущенная к основанию равнобедренного треугольника, будет являться катетом в равнобедренном треугольнике. Эта высота лежит напротив угла в 30 градусов, т.е. она равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника.
Сама высота проведена к середине основания, т.к. проведена из тупого угла в равнобедренном треугольнике. Значит, отрезок, соединяющий середины боковой стороны(гипотенузы) и основания, будет проведён из прямого угла в прямоугольном треугольнике к середине его гипотенузы.
Значит, этот отрезок является медианой в прямоугольном треугольнике, проведённой из прямого угла. А как мы все знаем, медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине этой же гипотенузы. То есть искомый нами отрезок равен высоте, значение которой нам известно.
Таким образом, отрезок равен 3-ём см.
ответ: 3 см.

Объяснение: ЗАДАНИЕ 4

r=a×sinA/2, где а сторона ромба

r=12×sin30°/2=12×½/2=6/2=3см

r=3см. Длина окружности вычисляется по формуле: 2πr: длина окружности=2×3,14×3=18,84см

ответ: длина окружности=18,84см

ЗАДАНИЕ 5

Обозначим эти пропорции как 7х и 5х. Зная что периметр =44, составим уравнение:

7х+5х+8=44

12х+8=44

12х=44-8

12х=36

х=36÷12

х=3

Если х=3, то сторона2=7×3=21см

Сторона3=5×3=15см

Теперь найдём площадь треугольника через полупериметр:

р=44÷2=22см по формуле:

S=√((p(p-a)(p-b)(p-c)), где р- полупериметр, а, b, c стороны треугольника:

S=√((22(22-8)(22-21)(22-15))=

=√(22×14×1×7)=√2156=√(4×7×7×11)=

=2×7√11=14√11см²

ответ: S=14√11см²

ЗАДАНИЕ 6

Так как длина окружности =2πr, вычислим радиус, используя эту формулу:

2πR=12

R=12÷2π

R=6÷3,14

R=6/3,14см

R≈1,91см

Радиус в прямоугольнике равен половине его диагонали и Если рассмотреть треугольник, с углом между диагоналями 60°, то его стороны образуемые диагоналями будут равны поскольку в прямоугольнике они делятся пополам и равны радиусу. Если две стороны в треугольнике с углом 60° равны, то этот треугольник равносторонний. Поэтому одна из сторон =радиусу=1,91см. Диагональ прямоугольника делит его на 2 равных прямоугольных треугольника в котором диагональ является гипотенузой, и сейчас мы можем найти вторую сторону прямоугольника по теореме Пифагора:

Диагональ=1,91×2=3,82см

Сторона2=√(3,82²-1,91²)=

=√(14,5924-3,6481)=√10,9443≈3,31см

ответ: сторона1≈1,91см, сторона2≈3,31см