Окружность касается сторон AB и AD прямоугольника ABCD и пересекает DC в единственной точке F, а BC-в точке E.
Найти площадь AFCB, если AB=32, AD=40 и BE=1
————
АBCD- прямоугольник. ⇒
AFCB - прямоугольная трапеция. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
S=0,5•(FC+AB)•BC
СF следует найти.
Проведем радиусы ОК и ОТ к АВ и АД соответственно.
АК=ОК=ОТ=ТА=R
Опустим из Е перпендикуляр ЕН на радиус ОК
КН=ВЕ=1⇒ НО=R-1
ЕН=ВК=АВ-R=32-R
По т.Пифагора из ∆ ОЕН
R²=(32-R)²+(R-1)²⇒
R²-66 R+1024=0 Решив квадратное уравнение, получим два корня:
R1=41; R2=25
Первый не подходит, т.к. больше, чем АВ, и будет касаться не АВ, а её продолжения.
R=ОЕ=25
Проведем ОМ перпендикулярно СD.
Основание СF=CM+MF
CM=BK=AB-R=7
MF=√(OF²-OM²)
OM=AD-R=40-25=15
MF=√(25²-15²)=20
CF=20+7=27
S=0,5•(27+32)•40=1180 ( ед. площади)
ΔKLM — прямоугольный, ∠L = 90°.
∠K = 90°−∠M = 90−45 = 45° ⇒ ΔKLM — равнобедренный: ML = KL
Биссектриса, проведенная к основе равнобедренного треугольника является медианой и высотой. Медиана, проведенная из прямого угла тр-ка, равна половине гипотенузы:
LN = MN = KN = 16/2 = 8 (cm)
Отрезок NS — расстояние от точки N до стороны LM, (NS⊥ML).
Из прямоугольного треугольника MSN: ∠SNM = 90°−∠NMS = 90−45 = 45° ⇒ ΔMSN — равнобедренный: MS = NS:
MS = NS = x, тогда из т. Пифагора:
MS = NS = x = 4√2 ≈ 5,65 (cm)
5 < NS < 6
∠NLM = ∠NLK = 90/2 = 45° (т.к. LN — биссектриса) ⇒ Δ NML и ΔNLK — равнобедренные. Отрезки NS NR — высоты, биссектрисы и медианы Δ NML и ΔNLK соответственно ⇒
⇒ MS = LS = NS = 4√2 (cm) и KR = LR = NR = 4√2 (cm);
Следовательно, отрезок RS — средняя линия ΔKLM:
Средняя линия тр-ка равна половите стороны, к которой она параллельна: RS = KM/2 = 16/2 = 8 (cm).
расстояние от точки N до стороны LM заключено между целыми числами 5 и 6;длина отрезка RS равна 8 cm.
