высота св прямоугольного треугольника авс проведена к гипотенузе делит её на отрезки 4 и 16. Найдите катеты треугольника (катеты - иррацианальные числа)

АВ=6 cм, так как это перпендикуляр к основаниям ВС и AD.
СD=10 см.

Диагональ АС является гипотенузой прямоугольного треугольника  АВС, у которого катеты АВ и ВС.
Диагональ BD является гипотенузой прямоугольного треугольника  АВD, у которого катеты АВ и AD.
Так катет ВС меньше катета AD, то и гипотенуза АС меньше гипотенузы BD.
 
АС=СD=10 cм.
Треугольник АСD - равнобедренный. Высота СК является одновременно и медианой.
СК=АВ=6 см

По теореме Пифагора из треугольника АСК:
АК²=АС²-СК²=10²-6²=100-36=64=8²
АК=8
АD=2·AK=16 см
BC=AK=8 cм

О т в е т. 8 см и 16 см.

Проведем МN||АВ..

Четырехугольник КВNM - параллелограмм по построению =>

MN=ВК

Рассмотрим треугольники АКМ и СNМ

В равнобедренном треугольнике АВС углы при основании АС равны. =>

∠ВАМ=∠ВСМ

∠АКМ=∠СNМ=∠АВС - соответственные при параллельных прямых и секущей.

Если в  треугольниках два угла равны, то равны е третьи углы. => ∠КАМ=∠NMC

ΔАКМ = ΔСNM по второму признаку равенства треугольников. Сходственные элементы равных треугольников равны.  =>

АМ=СМ, ч.т.д.

————

Или:

КМ||ВС по условию,, ⇒∠КМА=∠ВСМ - соответственные при параллельных прямых КМ и ВС и секущей АС.

Δ АВС  равнобедренный ⇒ ∠ВАС=∠ВСА, следовательно, в ∆ АКМ углы при М и А равны, ∆ АКМ - равнобедренный. КА=КМ=ВК

КМ параллельна ВС ⇒  КМ - средняя линия ∆ АВС и М - середина АС. Отсюда следует равенство АМ=МС.