CA = 192 см, CB = 56 см. AB = 

Решить треугольник, значит найти его не достающие основные элементы.
У данного нам треугольника BCD имеется 6 основных характеристик:
3 линейные (длины сторон ВС, CD, BD) и 3 угловые ( <B, <C и <D).
Нам известны сторона ВС и угпы В и D.
Требуется найти стороны CD и BD и <C.
<C=180°-(45°+60°)= 75° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
Стороны CD и BD найдем по теореме синусов:
ВС/SinD=CD/SinB, отсюда CD=BC*Sin45/Sin60 или
CD=√3*(√2/2)/(√3/2) =√2.
ВD/SinC=CD/SinB, отсюда BD=CD*Sin75/Sin45.
Sin75=Sin(30+45)=Sin30*cos45+Cos30*sin45 =(1/2)*(√2/2)+(√3/2)*(√2/2).
Sin75=√2(1+√3)/4.
BD=√2*√2(1+√3)/(√2/2)*4=√2(1+√3)/2.

Сторону ВD можно найти и по теореме косинусов:
BC²=BD²+CD²-2*BD*СD*CosD или 3=BD²+2-2*BD*√2*(1/2) или
BD²-BD*√2-1=0.
Отсюда
BD=√2(1+√3)/2. Второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию.
Или так:
BD²=BC²+CD²-2*BC*СD*CosC  или
BD²=5-2*√3*√2*Cos75.
Cos75=Cos30*Cos45-Sin30*Sin45 = √2(√3-1)/4.
Заметим, что 4+2√3 = (1+√3)² ((1+√3)²=1+2√3+3). Тогда
BD=√[(10-6+√12)/2] = √[(4+2√3)/2] = √(1+√3)²/√2 = √2(1+√3)/2.
ответ: <C=75°, CD=√2, BD=√2(1+√3)/2.

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

ΔАВС - прямоугольный.

∠А = 90°.

∠С = 30°.

Точка М - середина СВ.

МН - серединный перпендикуляр.

Доказать:

МН < больший катет (АС) в 3 раза.

Доказательство:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Следовательно -

∠С+∠В = 90°

∠В = 90°-∠С

∠В = 90°-30°

∠В = 60°.

Проведём медиану к гипотенузе. Она пересечёт точку М, так как эта точка середина по условию.

Медиана, проведённая к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника (так как медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине).

То есть -

ΔАСМ и ΔАМВ - равнобедренные.

Рассмотрим ΔАМВ - равнобедренный. У него есть угол в 60°, а значит, он и равносторонний (признак равностороннего треугольника).

Следовательно, по свойству равностороннего треугольника, ∠АМВ = 60° (каждый угол равностороннего треугольника равен по 60°).

Рассмотрим ΔАСМ - равнобедренный. ∠С = ∠МАС = 30° (так как углы  у основания равнобедренного треугольника равны.

Рассмотрим ∠НМВ = 90°.

∠НМВ = ∠НМА+∠АМВ

∠НМА = ∠НМВ-∠АМВ

∠НМА = 90°-60°

∠НМА = 30°.

Так как ∠НМА = ∠НАМ, то ΔАНМ - равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника. Причём НМ = АН (так как лежат против равных углов в одном треугольнике).

Рассмотрим ΔСНМ - прямоугольный. Пусть катет НМ - х.

Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузе.

То есть -

СН = 2*НМ

СН = 2х.

Но НМ = АН = х (по выше доказанному).

Поэтому -

АС = СН+АН

АС = 2х+х

АС = 3х.

А теперь составим отношение АС и НМ, и сравним их -

Это нам и нужно было доказать.

ответ:

что требовалось доказать.