Расчёт в координатной прямоугольной системе.
Основание тетраэдра KPNM - (это PNM) в плоскости хОу, вершина N в начале координат, ребро NM по оси Оу.
Определяем координаты заданных точек.
N(0; 0; 0), M(0; 4; 0), P(2√3; 2; 0).
Высоту точки К находим по формуле H = a√(2/3) = 4*√(2/3) ≈ 3,26599.
Точка К((2√3/3); 2; 4√(2/3)).
Координаты точки Н (это основание высоты пирамиды) находим как точку пересечения медиан основания пирамиды по формуле среднего арифметического координат вершин основания.
H((2√3/3); 2; 0).
Точка L как середина ребра KM:
L =(К((2√3/3); 2; 4√(2/3)) + M(0; 4; 0))/2 = ((√3/3); 3; 2√(2/3))
Определяем векторы.
КН = (0; 0; -4√(2/3)), модуль равен 4√(2/3)
NL = L(((√3/3); 3; 2√(2/3)) - N(0; 0; 0) = ((√3/3); 3; 2√(2/3)), модуль равен √((3/9) + 9 + (8/3)) = √(108/9) = 2√3.
Теперь находим косинус угла между заданными прямыми.
cos(KH_NL) = |(0 + 0 + (-16/3))|/(4√(2/3)*2√3) = √2/3.
Угол равен arccos(√2/3) = 1,0799 радиан или 61,8745 градуса.
22√7
Объяснение:
Формула для нахождения площади трапеции через ее основания и высоту:
S = 
* (a + b) * h, где a, b — основания трапеции, h — высота трапеции.
СН ⊥ АД, СН - высота трапеции.
Рассмотрим ΔСДН(∠Н=90°).
СН = sin ∠Д * СД,
НД = cos ∠Д * СД.
Воспользуемся формулами приведения:
соsC = соs( 180°-∠Д) = - соs ∠Д ⇒ соs ∠Д = - соsC = 3/4
sin² ∠Д = 1 - соs² ∠Д = 1 - 9/16 = 7/16
sin ∠Д = 
= √7 / 4
СН = (√7 / 4 )* 8 = 2√7
НД = 3/4 * 8 = 6
т.к. трапеция АВСД - равнобокая, то АД = ВС+2*НД = 5+2*6=17 см
S = * (5+17)* 2√7 = 22√7
Есть 2 вариант.
После того, как нашли НД, через cos ∠Д, воспользоваться т. Пифагора и найти СН из ΔСДН :
СН² = СД²-НД² = 64-36 = 28
СН = √28= 2√7
