В трикутнику ABC AB = 6см, ДА – 30°. Дар — 45°. Проведено коло з центром у вершині В, яке до сторони АС. Знайдіть довжину дуги цього кола, яка міститься всередині трикутника.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Точки A,B и D не лежат на одной прямой. Тогда через них проходит единственная плоскость m. Докажем, что точка С также лежит в m.

Известно, что если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости (то есть, все точки прямой лежат в этой плоскости). Точки А и В прямой a лежат в плоскости m, тогда все точки прямой a также лежат в плоскости m. Точка С лежит на прямой a, тогда точка С лежит в плоскости m.  Таким образом, все четыре точки А,В,С,D лежат в плоскости m, что и требовалось доказать.

Имеем равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC и AD в 42 и 67 см и углом A в 60°. Т.к. эта трапеция равнобедренная, то углы при основаниях будут равны. То есть, угол А = угол В = 60°. Теперь проводим высоты ВК и СМ из точек В и С. Получаем два прямоугольных треугольника и один прямоугольник. ВСКМ - прямоугольник, поэтому КМ = 42 см => АК + МD = 67 - 42 = 25 см. Угол АВК = 30°, т.к. угол ВАК = 60°. По свойству прямоугольных треугольников, катет, лежащая напротив угла в 30° = половине гипотенузы => АВ = 25 см. А так как АВ = СD, то периметр трапеции = 42+67+25*2=159 см