В треугольнике ABC BC=2 см. Точка D лежит на стороне AC, причём AD=3см, DC=1см,BD=1,5см. Найдите длину стороны AB.

Треугольник АОД прямоугольный и равнобедренный, значит угол А = углу Д = (180 -90)/2=45 град

рассмотрим треугольник АВН, он прямоугольный, а угол А=45 град, значит угол АВН тоже равен 45 град, отсюда следует, что треугольник равнобедренный, т.е. АН = ВН = 2 см
по теореме Пифагора АВ² = ВН² + АН²
АВ² = 2² + 2² = 8
АВ = √8 = 2√2

S = АВ * sinA * (АД - АВ * cosA)
12 = 2√2 * 1/√2 * (АД - 2√2 * 1/√2)
12 = 2АД - 4
АД =7

S = h*(ВС+АД)/2
12 = 2 * (ВС+7)/2
ВС = 5
ответ: основания трапеции 5 и 7 см, а боковые стороны 2√2 см

1) 90+8х+х=180
90+9х=180
9х=90
х=10  1 угол
8х=8*10=80   2 угол

2)180-125=55  1 угол треугольника
180-145=35     2 угол треугольника
55+35+х=180  сумма трех углов равна 180
90+х=180
х=90  третий угол, следовательно треугольник прямоугольный

3) В треугольнике AOB, угол AOB=140 градусов. Отсюда следует, что сумма двух других углов треугольника AOB (углы ABO и BAO) равны 40 град.
Угол ABO это половина угла ABC, а угол BAO половина угла BAC, так как они образованы биссектрисой. Отсюда следует, что
АВС/2 + ВАС/2 = 40      умножаем на 2
АВС+ВАС=80
отсюда следует, что третий угол треугольника будет равен: 
АВС+ВАС+ВСА=180
80+ВСА=180
ВСА=100  тупой угол, определили

4)Пусть внешние углы будут 3х 4х и 5х, тогда сумма внутренних углов треугольника будет равна
180-3х+180-4х+180-5х=180
540-12х=180
12х=360
х=30

следовательно внешние углы равны:
3х=3*30=90
4х=4*30=120
5х=5*30=150

отсюда внутренние углы будут равны:
180-90=90
180-120=60
180-150=30