3. ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, ABCD – трапеция, AB = BC = CD = 4, DAB = 60°, D1BD = 30°.  4. ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, ABCD – трапеция, BD  AB, ADB = =BDC, AD = 12.  5. ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, AA1 = 6, ABCD – ромб, BDB1 = 60°, A1CA = 30°.
!

Для решения каждой из задач нам необходимо разбить их на более простые подзадачи и применять соответствующие математические формулы и принципы.

3. Для начала, посмотрим на ABCD - трапецию. Зная, что AB = BC = CD = 4 и DAB = 60°, мы можем заключить, что DAB и BCD - это равнобедренные треугольники. Значит, угол BCD также равен 60°. Далее, заметим, что D1BD = 30°. Так как DAB = 60°, то DBD1 = 90° - 60° = 30°. Зная это, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник DBD1. Так как угол BD1D = 90°, DB = D1D и угол DBD1 = угол D1DB. А так как углы D1BD и DBD1 равны 30°, то угол D1BD и DBD равны по 90° - 30° = 60°.

4. В данной задаче мы знаем, что AB = BC = CD = 4 и AD = 12. Так как AB = BC = CD, то у трапеции ABCD все стороны равны. То есть, ABCD - это равносторонняя трапеция. Так как AD ≠ BC, то трапеция ABCD не является прямоугольной или равнобедренной. В этом случае, чтобы найти углы трапеции, нужно использовать теорему косинусов. Мы можем применить ее для треугольников ADB и BCD. Пусть ADB = α и BCD = β. Тогда по теореме косинусов имеем:
AD² = AB² + BD² - 2 * AB * BD * cosα,
BC² = AB² + BD² - 2 * AB * BD * cosβ.
Подставляя значения сторон и находимсосинусы, получаем систему уравнений:
12² = 4² + BD² - 2 * 4 * BD * cosα,
4² = 4² + BD² - 2 * 4 * BD * cosβ.
Решая эту систему уравнений, мы найдем значения углов α и β.

5. Сначала рассмотрим ABCD - ромб с BDB1 = 60°. Так как BDB1 = 60°, то угол между сторонами ромба равен 120° (180° - 60°). Далее, заметим, что A1CA = 30°. Так как ABCD - ромб, то угол между сторонами ромба равен 120° (180° - 60°). Пусть угол A1CB1 = α. Тогда углы BDB1 и BDC1 равны 180° - α и α соответственно. Зная, что A1CA = 30°, мы можем применить теорему синусов для треугольника A1CB1:
sin(30°) / 6 = sin(180° - α) / CB1.
Подставив значение CB1 и решив уравнение, мы найдем значение угла α.