Дан треугольник ABC, в котором ∠A+∠B=90°, а sinB=4√3/10. Найди cos2B

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать знания о синусе и косинусе в прямоугольном треугольнике.

Зная, что треугольник ABC прямоугольный, мы можем применить теорему Пифагора:
AC^2 = AB^2 + BC^2

Из условия задачи, у нас есть следующая информация:
∠A + ∠B = 90°
sinB = 4√3/10

Сначала найдем значение cosB, используя определение синуса:
sinB = противолежащий катет / гипотенуза
4√3/10 = BC / AC
BC = (4√3/10) * AC

Теперь применим теорему Пифагора:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = AB^2 + [(4√3/10) * AC]^2
Раскроем скобки и упростим:
AC^2 = AB^2 + (48/100) * AC^2
AC^2 - (48/100) * AC^2 = AB^2
AC^2 - (48/100) * AC^2 = AB^2
(100/100 - 48/100) * AC^2 = AB^2
(52/100) * AC^2 = AB^2
(13/25) * AC^2 = AB^2

Теперь найдем значение cosB, используя определение косинуса:
cosB = прилежащий катет / гипотенуза
cosB = AB / AC
cosB = √(AB^2 / AC^2)
cosB = √[(13/25) * AC^2 / AC^2]
cosB = √(13/25)
cosB = √13 / 5

Наконец, найдем cos2B, используя тригонометрическую формулу:
cos2B = 2 * cos^2B - 1
cos2B = 2 * (cosB)^2 - 1
cos2B = 2 * (√13 / 5)^2 - 1
cos2B = 2 * (13 / 25) - 1
cos2B = 26/25 - 1
cos2B = 26/25 - 25/25
cos2B = 1/25