При каком значении переменной dd угол между векторами \overrightarrow{ m} m

и \overrightarrow{n}

n

равен 180\degree180° , если \overrightarrow{m}\{3;d\}

m

{3;d} и \overrightarrow{n}\{-6;-4\}

n

{−6;−4} ?

Для начала, давайте найдем скалярное произведение векторов \overrightarrow{ m} m и \overrightarrow{n} n.
Скалярное произведение двух векторов \overrightarrow{ u} u и \overrightarrow{ v} v обозначается как \overrightarrow{ u} \cdot \overrightarrow{ v} u⋅v и вычисляется по следующей формуле:
\overrightarrow{ u} \cdot \overrightarrow{ v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 u⋅v=u1⋅v1+u2⋅v2.

В нашем случае, у нас есть \overrightarrow{ m}\{3;d\} m{3;d} и \overrightarrow{n}\{-6;-4\} n{-6;-4}. Подставим их значения в формулу скалярного произведения:

\overrightarrow{ m} \cdot \overrightarrow{ n} = 3 \cdot (-6) + d \cdot (-4) = -18 - 4d.

Теперь обратимся к определению скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними:
\overrightarrow{ m} \cdot \overrightarrow{ n} = |\overrightarrow{ m}| \cdot |\overrightarrow{ n}| \cdot \cos(\theta), где |\overrightarrow{ m}| и |\overrightarrow{ n}| - модули векторов m и n, а \theta - искомый угол.

На данном этапе нам известны значения модулей векторов m и n:
|\overrightarrow{ m}| = \sqrt{3^2 + d^2} = \sqrt{9 + d^2} и
|\overrightarrow{ n}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.

Подставим все известные значения в формулу скалярного произведения:

-18 - 4d = \sqrt{9 + d^2} \cdot 2\sqrt{13} \cdot \cos(180\degree).

Заметим, что косинус 180\degree равен -1, поэтому формула упрощается:

-18 - 4d = -2\sqrt{13} \cdot \sqrt{9 + d^2}.

Для решения данного уравнения, мы должны найти такое значение переменной dd, при котором оно будет выполняться.
Решение данного уравнения будет заключаться в нахождении корней этого уравнения.

Теперь давайте приступим к разбору решения уравнения и найдем корни.

-18 - 4d = -2\sqrt{13} \cdot \sqrt{9 + d^2}.

Для начала, давайте избавимся от корней в уравнении, возведя уравнение в квадрат:

(-18 - 4d)^2 = (-2\sqrt{13} \cdot \sqrt{9 + d^2})^2.

Получим:

324 + 72d + 16d^2 = 52 \cdot (9 + d^2).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

324 + 72d + 16d^2 = 468 + 52d^2.

Получим квадратное уравнение:

16d^2 - 52d^2 + 72d - 468 = 0.

Сократим коэффициенты на 4:

4d^2 - 13d + 18 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Дискриминант формулы для решения квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 4, b = -13 и c = 18.

Вычислим дискриминант:

D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 18 = 169 - 288 = -119.

Заметим, что дискриминант отрицательный. Это означает, что уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, угол между векторами \overrightarrow{ m} m и \overrightarrow{n} n не может быть равен 180\degree при любом значении переменной dd.