4. Через точку А, делящую сторону вс треугольника ABC в отношении BA, : AC = 1:3, проведена прямая, параллельная медиане Bві. В каком отношении она де- лит сторону АС?

  Неважно, какой из углов будет обозначен 1. По теоремам об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей:

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, накрест лежащие углы равны.

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

 Следовательно,  образуются  4 угла одной величины, 4 угла другой величины, и их сумма равна величине развернутого угла.   (На рисунке приложения отмечены равные углы)   ∠1+∠2=180°   По условию   ∠1 меньше ∠2 на 40° ⇒ ∠2=∠1+40°;   ⇒  ∠1+(∠1+40°)=180° откуда ∠1=70°

Примечание: Если один из углов, образованных параллельными прямыми и секущей равен 90°, то все остальные углы равны ему.

Точка М является серединой боковой стороны АВ трапеции АВСД. Найдите площадь трапеции. если площадь. треугольника МСД равна 34. 
-------
 Сделаем рисунок.
Проведем МН параллельно основаниям трапеции.
МН - средняя линия трапеции и делит СН пополам.
МН - медиана треугольника СМД.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих. ⇒
S △ МСН=S △МДН=34:2=17
Продолжим прямую ВС за пределы трапеции.
Через точку М проведем параллельно СД прямую до пересечения с прямой ВС в точке К, с АД - в точке Е.
Тогда МКСН и МЕДН - равные параллелограммы - их противоположные стороны равны и параллельны.
Диагональ параллелограмма делит его площадь пополам.
Площадь МКС=площади МСН=17, а
S КМНС=S МЕДН=17*2=34
В треугольниках МКВ и МАЕ имется две равные по условию стороны: АМ=МВ
Углы при М равны как вертикальные, углы при В и А равны как накрестлежащие при параллельных прямых. 
Треугольник МКВ=треугольнику МАЕ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Следовательно,S МКСН=S МВСН+S △ АМЕ, 
а S КСДЕ =S трапеции АВСД. 
S (АВСД=34*2=68 ( ед. площади)