1))) обозначим сторону 6-угольника АВ, О---центр
в треугольнике АОВ угол АОВ = 360/n = 360/6 = 60, т.е. 6-угольник разбивается на 6 правильных треугольников и S(6-угольника) = 6*S(АОВ)
S(АОВ) = АВ*(r) / 2, где высота = r вписанной окружности
осталось найти сторону 6-угольника, зная радиус вписанной окружности...
если радиус вписанной в n-угольник окружности через сторону выражается:
r = a / (2*tg(180/n)), то a = r * 2*tg(180/n)
АВ = r * 2*tg(180/6) = r * 2*tg(30) = r *2*корень(3) / 3
r = d / 2, где d ---диагональ вписанного в окружность квадрата
по т.Пифагора d^2 = 2a^2, где а---сторона квадрата
d = a*корень(2)
r = d/2 = a*корень(2) / 2
S(АОВ) = АВ*r / 2 = (r *2*корень(3) / 3) * r / 2 = r^2 * корень(3) / 3 = a^2 * корень(3) / 6
S(6-угольника) = a^2 * корень(3)
S = ( )^2 * корнеь(3) = корень(12)*корень(3) = корень(36) = 6
Если боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью оснований равные углы, их проекции равны радиусу описанной окружности. Поэтому вершина высоты пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности, то есть в точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Основание высоты данной пирамиды – середина гипотенузы.
Каждое ребро пирамиды – наклонная, являющаяся гипотенузой прямоугольного треугольника. Один из катетов этих треугольников– проекция ребра на плоскость основания, второй катет общий у всех этих треугольников, и это высота МН самой пирамиды; по условию она противолежит углу 30°. Проекции этих наклонных – ребер пирамиды – равны медиане СН основания, т.е. половине гипотенузы треугольника АВС основания пирамиды,( свойство медианы прямоугольного треугольника).
Треугольник в основании пирамиды египетский ( т.к. отношение сторон 3:4:5. ), ⇒ АВ=10 см, и по теореме Пифагора АВ=√(8²+6²)=10 см, ВН=АН=АВ:2=5 см, ВМ=АМ=СМ=ВН:cos 30°= 5•2:√3=(10√3):3 = ≈ 5,77 см
