Дано:АМ-биссектриса
ВМ=МС
Доказать что треугольник равнобедренный,
найти основную сторону

Так если один из углов при основании = 60 градусов, то второй угол при основании тоже равен 60 градусов (св-ва р.б. трапеции), вторая бокова сторона равно 8 см (опять же св-во р.б. трапеции)
проводим высоту вн из угла в (допустим трапеция авсд) , получаем прямоугольный треугольник, т.к. мы знаем два угла а=60градусов, и вна равен 90 градусов, то угол авн=30 градусов, значит ан равен 5 см, тк (в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы),если мы проведем из угла с высоту ск, то получим равный авн треугольник, следовательнокд равен 5 см, значит основание равно 8 + 10= 18
теперь периметр 8 + 18 + 10х2 =  46 см
проверьте на всякий случай, возможны опечатки , писала второпях :) 

Сначала найдем диагональ BD по Пифагору: BD=√(AB²+AD²)=√(15²+36²)=39.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу.
Треугольники АВD и АОВ подобны, из подобия имеем АВ/BD=AO/AD=ВО/АВ, отсюда
АО=15*36/39=180/13.
ВО=15*15/39=75/13.
Из подобия треугольников АОВ и ВСО имеем: ВС/AВ=ВO/АО, отсюда ВС=ВО*АВ/АО= 6,25.
В прямоугольном треугольнике СНD по Пифагору имеем:
СD=√(AB²+(AD-ВС)²)=√(15²+29,75²)≈33,32.
Из подобия треугольников ВОС и АОО имеем: ВС/AD=ВO/OD, отсюда OD=ВО*АD/BC= 432/13.
Значит диагонали делятся в отношении
ВО/OD=(75/13)/(432/13)=75/432=25/144.
ответ: диагонали делятся в отношении 25/144, ВС=6,25 СD=≈33,32.

P.S. За "кошмарные" числа ответственность на составителе задачи.