З деякої точки простору проведено до площини дві похилі. Одна з них дорівнюс 24√2 см і утворює з площиною кут 45°. Знайдіть довжину iншої похилоï, якщо її проекція на площину дорівнюс 6см.

Половина высоты относится к радиусу вписанной окружности основания как tg(a)
tg(a) = h/2/r
r = h/(2tg(a))
В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности - это точка пересечения медиан, биссектрис и высот. Медианы делятся точкой пересечения как 2 к 1 начиная от угла, и которого построена медиана. Поэтому полная длина медианы равна 3r
Рассмотрим прямоугольный треугольник, равный половине основания. Обозначим сторону основания x. Тогда по Пифагору
x² = (x/2)² + (3r)²
3/4*x² = 9r²
x² = 12r²
x = 2√3*r = 2√3*h/(2tg(a)) = h√3/tg(a)
Площадь основания
S = 1/2*x*3r = 1/2*h√3/tg(a)*h/(2tg(a)) = √3/4*(h/tg(a))²
И объём 
V = 1/3*S*h = 1/3*√3/4*(h/tg(a))²*h = 1/(4√3)*h³/(tg(a))²
на картинке слева сечение пирамиды в вертикальной плоскости, справа - основание.

Условие задачи неполное. Должно быть так:

Найдите объем прямой призмы АВСАВ₁С₁, если

∠АВ₁С = 60°, АВ₁ = 3, СВ₁ = 2 и двугранный угол с ребром ВВ₁ прямой.

Призма прямая, значит боковые грани - прямоугольники. Тогда

АВ⊥ВВ₁, СВ⊥ВВ₁, значит ∠АВС = 90° - линейный угол двугранного угла с ребром ВВ₁.

Из треугольника АВ₁С по теореме косинусов найдем АС:

АС² = AB₁² + CB₁² - 2·AB₁·CB₁·cos∠AB₁C

AC² = 9 + 4 - 2 · 3 · 2 · 1/2 = 13 - 6 = 7

AC = √7

Пусть АВ = а, ВС = b, ВВ₁ = с.

По теореме Пифагора составим три уравнения:

ΔАВС:  a² + b² = 7

ΔABB₁:  a² + c² = 9

ΔCBB₁:  b² + c² = 4

Получили систему из трех уравнений с тремя переменными. Сложим все три уравнения:

2(a² + b² + c²) = 20

a² + b² + c² = 10

Теперь из этого уравнения вычтем каждое. Получим:

с² = 3

b² = 1

a² = 6

Откуда:

с = √3,  b = 1,  a = √6.

V = Sabc · BB₁ = 1/2 · ab · c = 1/2 · √6 · 1 · √3 = 3√2/2